فیبوناچی

لئوناردو پیسانو فیبوناچی در سال 1170 در پیزا متولد شد [1 ، ص. 604]نام او در بدو تولد به سادگی لئوناردو بود ، اما در آثار عامه امروز او معمولاً به عنوان فیبوناچی (از فیلیو بوناسیج ، به معنای واقعی کلمه به معنای پسر بوناچی است ، اما در اینجا به عنوان خانواده Bonacci گرفته شده است ، زیرا نام پدرش بناشی نبود. به [1 ، ص 604]). جالب اینجاست که هیچ مدرکی مبنی بر شناخته شدن فیبوناچی در زمان خودش وجود ندارد ، و پیشنهاد شده است که نام فیبوناچی با Guillame Libri [3 ، xv] سرچشمه گرفته است. Fibonacci همچنین با نام مستعار "Bigollo" شناخته شده بود ، که ممکن است به معنای Loafer باشد ، و ممکن است عدم علاقه عمومی به ریاضیات صرفاً نظری فیبوناچی علاقه به آن نشان دهد. با این حال ممکن است Bigollo نیز به عنوان "به خوبی سفر" تعبیر شود ،که به اندازه کافی فیبوناچی را توصیف می کند [2]. با این حال این توضیحات مربوط به نام مستعار Bigollo نیز "خیالی" خوانده شده است ، و "بدون شایستگی" [3 ، xv]. فیبوناچی از نام لئوناردو پیسانو استفاده کرد که به سادگی به منشأ وی در شهر پیزا اشاره کرد. اکنون که نام های زیادی از لئوناردو پیسانو بیگنولو فیبونوچی بیان شده است ، از این به بعد من به سادگی از او به عنوان فیبوناچی یاد خواهم کرد.

زندگینامه

فیبوناچی در سال 1170 در گیلیلمو ، عضو خانواده Bonacci متولد شد. گیلیلمو به عنوان دبیر جمهوری پیزا ، در استان توسکانی ، که در آن زمان بخشی از امپراتوری مقدس روم بود ، جایگاه خود را به دست آورد و امروز در شمال ایتالیا قرار دارد [1 ، xv]. در حدود 1192 گیلیلمو به یک مرکز تجارت در شهر بوگیا (که اکنون با نام بوگی [1 ، ص 604] یا به عنوان بیجا توسط اعراب شناخته می شود [4]) ، که در شمال شرقی الجزایر است ، قرار گرفت و نسبتاً نزدیک به ایتالیا قرار دارد.، در سراسر دریای مدیترانه. گیلیلمو هنگامی که این مقام را پذیرفت ، فیبوناچی را به بوگیا آورد. در بوگیا فیبوناچی چیزهای زیادی را آموخت - به ویژه ، از دیدگاه تاریخ ریاضیات ، اعداد هندی. فیبوناچی در مورد اقامت خود در بوگیا در لیبرباسی [2] به شرح زیر نوشت:

هنگامی که پدر من که توسط کشورش به عنوان دفتر اسناد رسمی در آداب و رسوم در بوگیا که برای بازرگانان Pisan که به آنجا می روند ، منصوب شده بود ، مسئول بود ، او مرا به او احضار کرد در حالی که من هنوز کودک بودم ، و چشم به سودمندی می کردمراحتی آینده ، من را می خواهم که در آنجا بمانم و در دانشکده حسابداری آموزش بگیرم. در آنجا ، هنگامی که من از طریق تدریس قابل توجه با هنر نه نماد هندی ها آشنا شدم ، دانش از هنر خیلی زود مرا خوشحال کرد و من آن را درک کردم ، زیرا هر آنچه که توسط هنر در مصر ، سوریه مورد مطالعه قرار گرفت ،یونان ، سیسیل و پرووانس ، در تمام اشکال مختلف.

در سفرهای خود فیبوناچی ریاضیات زیادی از جمله اعداد هندی را آموخت ، و همچنین بسیاری از کلاسیک های یونانی که به غرب گم شده بودند ، اما ترجمه های لاتین آنها در شرق با استقامت طولانی رومی حفظ شده بودامپراتوری در قسطنطنیه [1 ، p607]. فیبوناچی سفرهای خود را در حدود 1200 به پایان رساند و در پیزا مستقر شد ، جایی که برای بیست و پنج سال آینده تعدادی متون را تشکیل داد که در آن کار مهمی را در تئوری شماره و راه حل معادلات جبری از جمله موارد مهم دیگر انجام داد. او همچنین به سری اعداد معروف به شماره های فیبوناچی آمد. فیبوناچی در دادگاه امپراتور فردریک دوم به رسمیت شناخته شد. اعتقاد بر این است که فیبوناچی در حدود 1250 درگذشت ، اما در هر صورت مدتی پس از 1240 ؛پس از این تاریخ هیچ سابقه ای از وی وجود ندارد [3].

آثار مهم

اولین اثر مهم فیبوناچی ، لیباسی ("کتاب محاسبات" [5]) بود که در سال 1202 نوشته شده است. لیباسی متعاقباً توسط خود فیبوناچی در سال 1228 مجدداً ویرایش شد. واداو ابتدا در مورد محاسبات انگشت مشترک و استفاده از اعداد رومی ، که روشهای محاسباتی متداول در اروپا در آن زمان بودند ، بحث می کند [1 ، ص. 608]بعد او اعداد هندی را معرفی می کند. Liber Abbaci آغاز می شود "این نه چهره هندی ها هستند: 9 8 7 6 5 4 3 2 1.[5]. "بعد او قوانین عربی را برای همکاری با اعداد هندی توضیح می دهد [1 ، ص. 606]کسری در سمت چپ اعداد صحیح قرار می گیرد و از نوار کسری استفاده می شود. قوانین اساسی برای این موارد در زیر بیان شده است (نمونه ها بر اساس نمونه هایی در فرهنگ لغت بیوگرافی علمی ، ص 607 و لونبورگ ، صص 68-81 است.)

x+b = 2 (y-7) y+b = 3 (x+z) z+b = 4 (x+y)

تجزیه و تحلیل نامشخص به این واقعیت اشاره دارد که مجموعه معادلات کم ارزش است: چهار ناشناخته وجود دارد `B ، X ، Y ، Z و فقط سه معادله ، به طوری که یک پاسخ منحصر به فرد امکان پذیر نیست ، بلکه فقط یک رابطه بین ارزش هایمتغیرها

لیبری عباس نیز شامل بسیاری از مشکلات عملی ارزش برای بازرگانان زمان است ، از محاسبه بهره گرفته تا مشکلات مربوط به نرخ ارز و حاشیه سود. همچنین موجود در لیبرباسی ها ، مشکلات و پازل های مختلفی از جمله یک مشکل مشهور در تولید مثل خرگوش ها وجود دارد که در زیر مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

کار دوم فیبوناچی با عنوان The Practica Geometriae ، و از حدود تشکیل شده است. 1220-1221. Geometriae Practica به شدت به آثار اربابان یونان باستان ، از جمله اقلیدس و Archimedes می پردازد. فیبوناچی همچنین آثار افلاطون Tivloli (1145) را ترسیم می کند [1 ، ص. 609]بحث فیبوناچی اغلب به معادلات درجه دوم منتهی می شود ، که در راه حل او مهارت ماهر را نشان می دهد ، حتی به راه حل های متعدد آنها توجه می کند. در Geometriae Practica شامل بسیاری از دستورالعمل های مربوط به نقشه بردار عملی است. دستورالعمل های ساده برای اندازه گیری ارائه شده است ، و جداول به راحتی خوانده می شود که در آن محاسبات پیچیده برای به دست آوردن راه حل لازم بود. روش تعیین کننده Archimedes؟از چند ضلعی های کتیبه ای و متمایز بحث شده است. مشکلات نامشخصی که از این خطوط فکری پیروی می کنند نیز درمان می شوند.

کار Flos ، که در سال 1225 تشکیل شده است ، به عنوان پاسخی به سؤالاتی که توسط یوهانس از پالرمو مطرح شد (عضو دادگاه امپراتور فردریک و یکی از دوستان فیبوناچی [3]) به امپراتور فردریک دوم ارسال شد. اولین مشکل حل معادلات x2+5 = y2 و x2-5 = z2 بود. مشکل بعدی حل معادله مرتبه سوم x3+2x2+10x = 20 است. فیبوناچی نشان داد که محلول معادله یک عدد کامل ، کسری یا هر یک از بزرگی غیر منطقی اقلیدسی نیست. با این حال او در ادامه یک تقریب منطقی از راه حل را ارائه می دهد. مشکل سوم و نهایی حل یک سری معادلات نامشخص است.

در Liber Quadatorum تشکیل شده در 1225 فیبوناچی به دست آوردهای قابل توجه بسیاری در نظریه اعداد. او روش های مختلفی برای یافتن سه گانه فیثاغورثی ارائه می دهد. او در ادامه تعریفی را برای دسته خاصی از اعداد که آن را congruum می نامد بررسی می کند، و سپس از طریق یک برهان درخشان، جواب کامل مجموعه معادلات نامعین ارائه شده توسط یوهانس پالرمویی را به دست می آورد.

من در مورد مبدأ همه اعداد مربع فکر کردم و دریافتم که آنها از دنباله فزاینده اعداد فرد به وجود می آیند؛ زیرا وحدت یک مربع است و از آن اولین مربع یعنی 1 ساخته می شود؛ به وحدت 3 اضافه می شود ومربع دوم، یعنی 4، با ریشه 2؛ اگر به مجموع سومین عدد فرد، یعنی 5، اضافه شود، مربع سوم، یعنی 9، با ریشه 3 ایجاد می شود؛ و بنابراین مجموع مربع اعداد فرد متوالی و دنباله ای ازمربع همیشه با هم به وجود می آیند"؛

• 1 = 1²
• 1 + 3 = 2²
• 1 + 3 + 5 = 3²
• 1 + 3 + 5 + 7 = 4² و فرمول کلی را پیشنهاد می کند که به صورت زیر بیان می کنیم:
• 1 + 3 + .+ (2n-1) = n²

این چهار اثر و نامه ای به تئودوروس (Epistola ad Magistrum Theodorum [3, xix]) شامل آثار باقی مانده از فیبوناچی است. با این حال، اینها تنها آثار ساخته شده توسط فیبوناچی نیستند. آثار دیگری که وجود داشته اند عبارتند از Di minor guisa، کتابی برای حساب تجاری. بحثی در مورد کتاب X از عناصر اقلیدس نیز شناخته شده است که در آن فیبوناچی یک بحث عددی از اعداد غیر منطقی ارائه کرده است.

ریاضیات فیبوناچی

اکنون بحث مختصری در مورد تعدادی از دستاوردهای ریاضی لئوناردو فیبوناچی انجام خواهد شد.

• فیبوناچی نشان داد که هیچ جفت x و y وجود ندارد که x²+y² و x²-y² هر دو مربع کامل باشند.
• او همچنین نشان داد که x^4-y^4 نمی تواند مربع باشد.
• فیبوناچی نوع خاصی از اعداد را تعریف کرد که او congruum نامید، که از این قوانین پیروی می کنند. اگر k = ab(a+b)(a-b)، اگر a+b زوج باشد، یک عدد «k» یک ترکیب است. یا k = 4ab(a+b)(a-b)، اگر a+b فرد باشد که در آن «a» و «b» اعداد صحیح هستند. سپس نشان می‌دهد که x2+h و x2-h می‌توانند هم‌زمان مربع باشند تنها در صورتی که h یک congruum باشد. با استفاده از این واقعیت، او مسئله مطرح شده توسط یوهانس پالرمویی را حل می کند، x2+5 =y2 و x2-5=z2، که به y 2-x2=5 و x2-z2=5 بازآرایی می شود، بنابراین y2-x2 = x2-z2،برای a=5 و b=4 y2-x2= x2-z2=720 و بنابراین 492-412=412-312 راه حل است (معلوم نیست فیبوناچی مربع اعداد خاص را از کجا پیدا کرده است [1, p609])

بحث اعداد فیبوناچی، اگرچه برای کارهای فیبوناچی اهمیت کمی دارد، اما آنقدر شهرت دارد که نادیده گرفتن آن ممکن است سهل انگاری شود، بنابراین بحثی در مورد اعداد فیبوناچی و چند کاربرد جالب از اعداد فیبوناچی در اینجا آورده شده است. پیوست اول.

دستاوردهای اصلی فیبوناچی

شناخته شده ترین دستاورد فیبوناچی قطعاً دنباله فیبوناچی است. دنباله فیبوناچی اولین سری تکراری بود، سری های دیگری مانند سری لوکاس بر اساس آن الگوبرداری شده اند. اعداد فیبوناچی در ریاضیات مدرن کاربرد دارند. آنها اغلب در علوم کامپیوتر مدرن، به عنوان بخشی از نظریه اعداد، و در شمارش اشیاء ریاضی استفاده می شوند.

آنچه که برخی مهمترین دستاورد او را معرفی ریاضیات هندو-عربی به فرهنگ غربی می دانند، برخی آن را یک شاهکار بزرگ ریاضی نمی دانند، بلکه تلفیقی از تکنیک های شناخته شده برای مخاطبان جدید است (تا حدودی معادل این بیانیهکه اقلیدس آنقدر ریاضیدان نبود که نویسنده یک کتاب درسی موفق بود)

فیبوناچی در کار خود نه چندان توضیحی بدیع (اگرچه در برخی از راه حل های خود مقداری نوآوری از خود نشان داد) بلکه تلفیقی از فنون حساب و جبر عربی ارائه کرد.

جالب توجه است که فیبوناچی همچنین مسئول معرفی ریاضیات عرب به اعراب نیز بود. ریاضیات عربی در ابتدا فقط توسط دانشمندان و علما استفاده می شد، اما تاجر عرب نه [3، xviii].

[فیبوناچی] را می‌توان با معرفی تکنیک‌های محاسباتی علمی در رویه‌های تجاری عمومی نسبت داد [3، xviii].

اینها در واقع تنها تعداد کمی از دستاوردهای فیبوناچی هستند، او که هم دانش‌آموز میراث جبری شرق و هم محقق یونانیان باستان بود، «او به سنت‌های نظری یونانیان و سنت‌های جبری اعراب پیوست و آنها را در اروپا تأسیس کرد.[3، xx]."فیبوناچی را "اولین ریاضیدان بزرگ غرب مسیحی" می نامند [1، p611]. به نظر می رسد عنوان دقیقی برای مردی که نقش عمده ای در شناخت سودمندی و معرفی سیستم سیستم اعدادی که ما هنوز از آن استفاده می کنیم داشته است، برای مردی که پایه ای برای نظریه اعداد مدرن و بسیاری از بخش های مفید دیگر فراهم کرده است. ریاضیات

ضمیمه A اعداد فیبوناچی

بهترین کار شناخته شده فیبوناچی مربوط به اعداد فیبوناچی است که برای اولین بار در Liber abbaci از طریق مسئله خرگوش مورد بررسی قرار گرفت.

مردی یک جفت خرگوش را در مکانی گذاشت که از هر طرف با دیوار احاطه شده بود. از آن جفت در سال چند جفت خرگوش می توان تولید کرد اگر فرض شود هر ماه هر جفت جفت جدیدی به دنیا می آورد که از ماه دوم به بعد مولد می شود.

از این عبارت می توان اعداد فیبوناچی معروف را به دست آورد.

1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377، 610، 987، .

که در آن دو عدد اول سری 1 و 1 هستند و هر عدد پس از آن به عنوان مجموع دو عبارت قبلی Fn=Fn-2+Fn-1 تعریف می شود.(اگرچه در دنباله فیبوناچی عدد اول 1 و عدد دوم دو بود، عدد اول در نظر گرفته شد)

درخت شجره نامه در زیر نشان داده شده است:

تعریف اعداد فیبوناچی نمونه ای از چیزی است که امروزه به عنوان یک رابطه بازگشتی از آن یاد می کنیم. اعداد فیبوناچی شامل نسبت طلایی (راه حل معادله x²-x-1=0) است که قبلاً برای یونانیان باستان شناخته شده بود. نسبت اعداد فیبوناچی متوالی در بررسی به نظر می رسد که به عددی در حدود 1. 618 همگرا می شوند. اگر فرض کنیم که این نسبت‌ها به حدی همگرا می‌شوند، آنگاه برای شاخص‌های بزرگ داریم

بر این اساس، حد (با فرض وجود) این نسبت‌ها، که به عنوان ph به آن اشاره خواهیم کرد، معادله phi=1/phi+1 را برآورده می‌کند و بنابراین phi²-phi-1=0، که جواب مثبت آن نسبت طلایی است.

اعداد فیبوناچی را می‌توان در مکان‌های مختلفی در ریاضیات از جمله جمع‌های مورب معین در مثلث پاسکال مشاهده کرد:

حتی امروزه مجله ای با عنوان فصلنامه فیبوناچی وجود دارد که به طور کامل به مطالعه اعداد فیبوناچی اختصاص دارد.

منابع

1. چارلز کولشتاین گیلسپی، فیبوناچی، دیکشنری بیوگرافی علمی، 604-611، 1971.
2. سایت سنت اندروز تاریخچه ریاضیات
3. Heinz Lüneburg, Leonardo Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers, BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, Germany, 1993. (مرجع درج شده توسط پروفسور Cherlin و برای روشن شدن مثالهای کسرها بر اساس نمادهای L.
4. ال ای سیگلر، لئوناردو پیزانو فیبوناچی، کتاب مربع ها، ترجمه مشروح به انگلیسی مدرن، انتشارات دانشگاهی، اورلاندو، فلوریدا، 1987.
5. سایت بیجایا
6. یک سایت فیبوناچی دیگر

منابع اضافی زیر، اگرچه مستقیماً ذکر نشده اند، برای افزودن به درک کلی من از موضوع، و برای روشن شدن برخی نکات بد توضیح داده شده در مراجع ذکر شده استفاده شدند.